Exposé sur la Théorie de la Division par Zéro de Ghirardini (1971-1999)

DIVISION PAR ZERO GHIRARDINI 1971

#### **Introduction : Redéfinir le Zéro**

La théorie développée par Ivano Ghirardini entre 1971 et 1999 propose une solution audacieuse à l'un des plus anciens tabous mathématiques : la division par zéro. Plutôt que de la considérer comme une opération indéfinie, Ghirardini la réinterprète comme une opération ensembliste parfaitement définie. Le cœur de son innovation réside dans une redéfinition radicale du concept de zéro. Le zéro n'est plus un simple scalaire, mais un **opérateur dual**, indexé par des ensembles, qui opère une transition entre deux états conceptuels : la "Vie" (domaine dynamique et opératoire) et la "Non-Vie" (domaine statique et mémoriel).

#### **1. Le Zéro Dual : Un Opérateur à Double État**

Ghirardini introduit un nouvel objet mathématique : le **zéro dual**, noté $0_E$, associé à chaque ensemble $E$. Cet opérateur agit sur les parties de $E$ et possède une double nature :

*   **Zéro Opératoire (Annulation)** : Il agit comme un "effaceur" qui annule la structure interne d'une partie de l'ensemble. Pour toute partie $A \subseteq E$, on a $0_E(A) = \emptyset$. C'est l'aspect "Non-Vie", où la dynamique s'effondre.

*   **Zéro Mémoriel (Conservation)** : Simultanément, il conserve l'intégralité de l'information de l'ensemble de base : $0_E^* = E$. C'est l'aspect "Vie", garantissant qu'aucune information n'est perdue lors de l'opération d'annulation.

Cette dualité est fondamentale : diviser par zéro, dans ce cadre, signifie annuler l'aspect opératoire d'un objet tout en en conservant la mémoire informationnelle.

#### **2. Une Hiérarchie des Zéros en Symétrie avec les Infinis de Cantor**

L'une des contributions majeures de Ghirardini est d'établir une symétrie formelle entre sa théorie et la théorie des infinis transfinis de Georg Cantor. De la même manière que Cantor a construit une hiérarchie d'infinis de plus en plus "grands" (les cardinaux $\aleph_0, \aleph_1, ...$), Ghirardini construit une **hiérarchie de zéros** de plus en plus "profonds".

*   **Correspondance Structurelle :**

    *   L'**infini actuel** de Cantor ($\aleph$) correspond au **zéro opératoire**.

    *   L'**infini potentiel** de Cantor correspond au **zéro mémoriel**.

*   **Construction de la Hiérarchie :**

    À chaque ensemble ($E$) correspond un zéro dual ($0_E$). Si un ensemble $F$ est inclus dans un ensemble $G$ ($F \subset G$), alors le zéro associé $0_F$ est considéré comme "inférieur" au zéro $0_G$. Cela crée une hiérarchie infinie de zéros : $0_\mathbb{N} \prec 0_\mathbb{Z} \prec 0_\mathbb{Q} \prec 0_\mathbb{R} ...$ Cette hiérarchie ne mesure pas la "taille" (cardinalité) mais la "profondeur" ou la puissance d'annulation d'un zéro.

#### **3. Une Arithmétique des Zéros**

Ghirardini définit une arithmétique complète pour ses zéros duaux, parallèle à l'arithmétique des cardinaux de Cantor :

*   **Addition ($\oplus$)** : L'addition de deux zéros, $\zeta(E) \oplus \zeta(F)$, est définie par le zéro de l'union des ensembles, $\zeta(E \cup F)$. En pratique, le zéro "le plus puissant" absorbe l'autre. Par exemple : $\zeta(\mathbb{Q}) \oplus \zeta(\mathbb{R}) = \zeta(\mathbb{R})$.

*   **Multiplication ($\otimes$)** : Le produit, $\zeta(E) \otimes \zeta(F)$, correspond au zéro du produit cartésien, $\zeta(E \times F)$.

*   **Exponentiation** : L'exponentiation, $\zeta(E)^{\zeta(F)}$, est définie par le zéro de l'ensemble des fonctions de $F$ vers $E$, soit $\zeta(E^F)$. Cette opération permet de créer des "sauts" dans la hiérarchie des zéros, de la même manière que l'exponentiation cardinale crée des infinis d'ordre supérieur.

#### **4. Extension Transfinie et le Point Fixe $\epsilon_0$**

La théorie va plus loin en étendant cette hiérarchie au-delà des ensembles classiques, en utilisant les ordinaux transfinis de Cantor comme indices. On peut ainsi définir des zéros comme $\zeta_\omega$, $\zeta_{\omega+1}$, et même $\zeta_{\epsilon_0}$.

L'ordinal **epsilon zéro ($\epsilon_0$)**, défini comme le plus petit ordinal tel que $\epsilon_0 = \omega^{\epsilon_0}$, joue un rôle crucial. Dans la théorie de Ghirardini, le zéro correspondant, $\zeta_{\epsilon_0}$, devient un **point fixe** pour l'exponentiation. Cela signifie qu'il représente un niveau de complexité et d'annulation si profond qu'il est "auto-suffisant" : l'élever à une puissance inférieure ne le modifie pas. Il symbolise une profondeur récursive ultime.

#### **Conclusion**

La théorie de la division par zéro d'Ivano Ghirardini n'est pas une simple astuce calculatoire. C'est une refonte structurelle des fondements mathématiques qui, tout en restant cohérente avec la théorie des ensembles ZFC, propose une vision unifiée où la division par zéro devient une porte d'entrée vers une dualité entre l'opératoire et l'informationnel. En créant une symétrie rigoureuse avec les travaux de Cantor, Ghirardini traite le "trop petit" avec la même sophistication que le "trop grand", ouvrant ainsi des perspectives nouvelles pour la logique, l'informatique théorique et même la cosmologie conceptuelle.